NILAI PENYIMPANGAN DATA

NILAI PENYIMPANGAN DATA

Ukuran Penyebaran/penyimpangan adalah suatu ukuran baik parameter atau statistika untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. Ukuran ini kadang-kadang dinamakan pula ukuran variasi, yang menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif.

Untuk mengukur tingkat penyimpangan dari suatu nilai variabel dapat digunakan dengan tiga cara, yaitu ukuran jarak (range) yang merupakan selisih data terbesar dengan data terkecil, simpangan rata-rata (deviasi rata-rata) dan simpangan baku (deviasi standart).

RANGE

            Jarak atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran yang paling sederhana dari ukuran penyebaran. Jarak merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel. Semakin kecil ukuran jarak menunjukan karakter yang lebih baik, karena berarti data mendekati nilai pusat dan kompak.

RANGE= NILAI TERBESAR-NILAI TERKECIL

Contoh Range :

Berikut merupakan laju inflasi dari Negara Indonesia, Malaysia, dan Thailand. Hitung range-nya!

TAHUN	Laju Inflasi (%)
	Indonesia	Thailand	Malaysia
2002	10	2	2
2003	5	2	1
2004	6	3	2
2005	17	6	4
2006	6	3	3

Penyelesaian :

Nilai	Indonesia	Thailand	Malaysia
Tertinggi	17	6	4
Terendah	5	2	1
Jarak	17-5=12	6-2=4	4-1=3

SIMPANGAN RATA-RATA (MEAN DEVIATION)

            Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dnegan rata-rata hitungnya.

Bentuk rumus deviasi rata-rata  ini biasa disingkat dengan MD (mean deviation) atau AD (average deviation), rumus rumus tersebut dapat kita lihat dibawah ini:

Untuk rumus sampel digunakan X sebagai pengganti µ sebagai berikut

Contoh :
Dari contoh soal yang pertama kita dapat lanjutkan dengan berikut ini:

• Untuk mendapatkan nilai | xi – x |, kita bisa jumlahkan nilai pengamatan dan di bagi dengan jumlah yang diteliti.
• Untuk soal yg diatas berarti: 39 / 6 = 6.5. Karena contoh di atas menggunakan data sampel, sehingga rumus yang digunakan juga menggunakan notasi sampel.
  MD = 7 / 6 = 1.17.

 

VARIANS

Varians dan standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang menunjukan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai rata-ratanya.

Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Varians dapat dibedakan antara varians populasi dan varians sampel. Varians populasi (σ dibaca tho) adalah deviasi kuadrat dari setiap data terhadap rata-rata hitung semua data dalam populasi. Varians sampel adalah deviasi kuadrat dari setiap data rata-rata hitung terhadap semua data dalam sampel dimana sampel adalah bagian dari populasi.

Varians memiliki kelemahan dimana nilai varians dalam bentuk kuadrad, seperti tahun kuadrat dalam hal tertentu lebih suit menginterpretasikannya dibandingkan dengan ukuran range yang merupakan selisih nilai tertinggi dan nilai terendah atau deviasi rata-rata yang merupakan rata-rata hitung selisih data dari rata-rata hitungnya. Oleh sebab itu, untuk memperoleh satuian yang sama dengan satuan data awal, maka dilakukan dengan mencari akar kuadrad dari varians populasi. Akar kuadrad dari varians populasi disebut standar deviasi.

Standar Deviasi

Standar deviasi disebut juga simpangan baku. Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi.  Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai.  Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya.  Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm.  Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²).  Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Standar Deviasi Untuk Populasi

                                      

Standar Deviasi Untuk Sampel

Contoh data tunggal

Untuk mendapatkan nilai variansi dan standar deviasi dari contoh di atas dapat kita lihat pada penjelasan berikut ini:

• Dari contoh tersebut diatas sudah jelas dari mana kita mendapatkan (xi – x)2 tersebut.
• Variansi yang akan kita pakai disini juga variansi sampel, karena data yang kita gunakan adalalah data sampel. Dari rumus diatas sudah jelas bagai mana kita dapat mendapatkan nilai tersebut.
• Jadi, Variansi: Sampel (s2) = 9.5 / 5 = 1.9. Varian sampel yang kita dapat yaitu: 1.9. dan Standar Deviasi (S) = √1.9 = 1.38.

Varians dan Standar Deviasi data Kelompok

Rumus varians dan standar deviasi untuk data kelompok adalah sebagai berikut

Contoh dari Varians dan Standar Deviasi untuk data berkelompok
Berikut merupakan nilai statistik dari 50 mahasiswa.

Kegunaan deviasi rata-rata dan deviasi standar

Baik deviasi rata-rata maupun deviasi standar keduanya berguna sebagai ukuran untuk mengetahui variabilitas data dan untuk mengetahui homogenitas data.

NAMA           :    RIZKIANTO

NPM               :    17 630 028

NILAI SENTRAL

A.    Pengertan nilai sentral

Nilai sentral atau nilai rata-rata juga disebut nilai tengah dari sekumpulan data statistik adalah suatu nilai dalam kumpulan atau rangkaian data yang dapat mewakili kumpulan atau rangkaian data tersebut. Suatu rangkaian data biasanya memiliki tendensi(kecenderungan) untuk memusat pada nilai sentral ini. Dari sekumpulan data (distribusi), ada beberapa harga/nilai yang dapat kita anggap sebagai wakil dari kelompok data. Nilai-nilai yang biasa digunakan untuk mewakili data tersebut adalah mean dan modus disebut sebagai nilai tengah (central tendency).

Suatu nilai dapat disebut sebagai nilai sentral apabila memiliki persyaratan sebagai berikut:

1.      Nilai sentral harus dapat mewakili rangkaian data.

2.      Perhitungannya harus didasarkan pada seluruh data.

3.      Perhitungannya harus obyektif.

4.      Perhitungannya mudah.

5.      Dalam satu rangkaian data hanya ada satu nilai sentral.

B.     Jenis atau macam nilai sentral

1.      Rata -rata hitung ( mean )

Mean adalah nilai rata-rata dari beberapa buah data. Nilai mean dapat ditentukan dengan membagi jumlah data dengan banyaknya data. Mean (rata-rata) merupakan suatu ukuran pemusatan data. Mean suatu data juga merupakan statistik karena mampu menggambarkan bahwa data tersebut berada pada kisaran mean data tersebut.

a)      Rumus Mean Hitung dari Data Tunggal

b)      Rumus Mean Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi

 

2. Median

            Median menentukan letak tengah data setelah data disusun menurut urutan  nilainya. Bisa juga nilai tengah dari data-data yang terurut. Simbol untuk median adalah Me.  Dengan median Me, maka 50% dari banyak data nilainya paling tinggi sama dengan Me, dan 50% dari banyak data nilainya paling rendah sama dengan Me. Dalam  mencari median, dibedakan  untuk banyak data ganjil  dan banyak data genap.  Untuk  banyak data ganjil, setelah data disusun menurut nilainya, maka median Me adalah data yang terletak tepat di tengah. Median bisa dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

 

Contoh:

Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh nilai 82, 93, 86, 92, dan 79. Tentukan median populasi ini. jawab: Setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh  79 82 86 92 93 Oleh karena itu medianya adalah 86
Kada nikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3, 2.7, 2.5, 2.9, 3.1, dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya.

jawab:

Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka diperoleh 1.9 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7, yaitu 

 

Selain itu juga dapat dicari median dari data yang telah tersusun dalam bentuk distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan ada dua, yaitu

 

Dimana :

Bak  = batas kelas atas median

c      =  lebar kelas

s’  = selisih antara nomor frekuensi median dengan frekuensi kumulatif sampai kelas   median

M    = frekuensi kelas median

Sebelum menggunakan kedua rumus di atas, terlebih dahulu harus ditentukan kelas yang menjadi kelas median. Kelas median adalah kelas yang memuat nomor frekuensi median, dan nomor frekuensi median ini ditentukan dengan membagi keseluruhan data dengan dua. Secara singkat rumus median dapat digunakan sebagai berikut dalam perhitungan menggunakan tabel data

 

Keterangan

Md : Nilai Median

L       : Tepi bawah dari kelas yang mengandung median

n       : Jumlah data

fc      : frekuensi komulatif pada kelas sebelum kelas median

fm     : frekuensi (absolut) darikelas terdapatnya median

C      : Kelas interval

3    3.   Modus

Modus adalah nilai yang sering muncul. Jika kita tertarik pada data frekuensi, jumlah dari suatu nilai dari kumpulan data, maka kita menggunakan modus. Modus sangat baik bila digunakan untuk data yang memiliki sekala kategorik yaitu nominal atau ordinal.
Sedangkan data ordinal adalah data kategorik yang bisa diurutkan, misalnya kita menanyakan kepada 100 orang tentang kebiasaan untuk mencuci kaki sebelum tidur, dengan pilihan jawaban: selalu (5), sering (4), kadang-kadang(3), jarang (2), tidak pernah (1). Apabila kita ingin melihat ukuran pemusatannya lebih baik menggunakan modus yaitu yaitu jawaban yang paling banyak dipilih, misalnya sering (2). Berarti sebagian besar orang dari 100 orang yang ditanyakan menjawab sering mencuci kaki sebelum tidur. Inilah cara menghitung modus:

§   Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.

§  Data yang telah dikelompokka

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

Dengan :

Mo      =  Modus

L     =Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1  =Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2      = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

Contoh:

Sumbangan dari warga Bogor pada hari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp 9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000, Rp 10.000, Rp 11.000. Maka modusnya, yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi paling tinggi, adalah Rp 9.000. Dari dua belas pelajar sekolah lanjutan tingkat atas yang diambil secara acak dicatat berapa kali mereka menonton film selama sebulan lalu. Data yang diperoleh adalah 2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 5, 4, 0, 1 dan 4. Dalam kasus ini terdapat dua modu, yaitu 2 dan 4, karena 2 dan 4 terdapat dengan frekuensi tertinggi. Distribusi demikian dikatakan bimodus.